QUADRATIC EQUATION by Ayna's Math Treasure

کواڈریٹکس مساوات(QUADRATIC EQUATION)

کواڈریٹکس یا چوکور مساوات کو دوسری ڈگری کی کثیر مساوات کے طور پر بیان کیا جاسکتا ہے ، جس سے یہ

 ظاہر ہوتا ہے کہ اس میں کم از کم ایک اصطلاح شامل ہے جو مربع ہے۔ چوکور مساوات کی عمومی شکل یہ ہے: 

ax² + bx + c = 0۔

جہاں x ایک نامعلوم متغیر ہے اور a ، b ، c عددی گتانک ہیں۔

یہاں ، ایک ≠ 0 کیونکہ اگر یہ صفر کے برابر ہے تو مساوات اب چوکور نہیں رہے گی اور یہ ایک لکیری مساوات

 بن جائے گی ، جیسے:

bx+c = 0۔

اس طرح ، اس مساوات کو چوکور مساوات نہیں کہا جا سکتا۔

شرائط a ، b اور c کو چوکور گتانک بھی کہا جاتا ہے۔

چوکور مساوات کے حل نامعلوم متغیر x کی اقدار ہیں ، جو مساوات کو پورا کرتی ہیں۔ ان حلوں کو چوکور 

مساوات کی جڑیں یا صفر کہا جاتا ہے۔ کسی بھی کثیر الثانی کی جڑیں دی گئی مساوات کے حل ہیں۔

مربعی مساوات QUADRATIC EQUATION)

چوکور مساوات کی تعریف(Quadratic Equation Definition)

کثیر مساوات جس کی سب سے زیادہ ڈگری دو ہے اسے چوکور مساوات یا بعض اوقات محض چوکور کہا جاتا ہے۔ 

اس کی شکل میں اظہار کیا جاتا ہے:

ax² + bx + c = 0۔

جہاں x نامعلوم متغیر ہے اور a ، b اور c مستقل شرائط ہیں۔

چونکہ چوکور میں صرف ایک نامعلوم اصطلاح یا متغیر شامل ہے ، اس طرح اسے غیر متنوع کہا جاتا ہے۔ متغیر x 

کی طاقت ہمیشہ غیر منفی عدد ہوتی ہے ، اس لیے مساوات ایک کثیر مساوات ہے جس کی اعلی طاقت 2 ہے۔

اس مساوات کا حل x کی اقدار ہے ، جسے صفر بھی کہا جاتا ہے۔ کثیر تعداد کے صفر وہ حل ہیں جس کے لیے

 مساوات مطمئن ہے۔ چوکور کے معاملے میں ، مساوات کی دو جڑیں یا صفر ہیں۔ اور اگر ہم جڑوں یا x کی

 اقدار کو مساوات کے بائیں ہاتھ میں رکھیں تو یہ صفر کے برابر ہو جائے گا۔ اس لیے انہیں صفر کہا جاتا ہے۔

کواڈریٹکس فارمولا۔( Quadratics Formula)

چوکور مساوات کا فارمولا مساوات کی جڑیں تلاش کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ چونکہ کواڈریٹکس کی ڈگری

 دو کے برابر ہوتی ہے ، لہذا مساوات کے دو حل ہوں گے۔ فرض کریں ، ax² + bx + c = 0 چوکور مساوات ہے 

، پھر اس مساوات کی جڑیں تلاش کرنے کا فارمولا یہ ہوگا:

 √ x = [-b ±(b2-4ac)]/2۔

پلس/مائنس کا نشان بتاتا ہے کہ ایکس کے دو حل ہوں گے۔ چوکور فارمولا یہاں تفصیل سے سیکھیں۔

چوکور کی مثالیں۔( Examples of Quadratics)

ذیل میں فارم کی چوکور مساوات کی مثالیں ہیں (ax² + bx + c = 0)

x² –x - 9 = 0۔

5x² - 2x - 6 = 0۔

3x² + 4x + 8 = 0۔

-x² + 6x + 12 = 0۔

ایک 'C' کی عدم موجودگی کے ساتھ ایک چوکور مساوات کی مثالیں- ایک مستقل اصطلاح۔

-x² -9x = 0۔

x² + 2x = 0۔

-6x² -3x = 0۔

-5x² + x = 0۔

-12x² + 13x = 0۔

11x² - 27x = 0۔

فیکٹرڈ شکل میں ایک چوکور مساوات کی مثالیں درج ذیل ہیں۔

(x - 6) (x + 1) = 0 [حل کرنے کے بعد حاصل کردہ نتیجہ ہے x² - 5x - 6 = 0]

–3 (x -4) (2x + 3) = 0 [حل کرنے کے بعد حاصل کردہ نتیجہ ہے -6x² + 15x + 36 = 0]

(x - 5) (x + 3) = 0 [حل کرنے کے بعد حاصل کردہ نتیجہ ہے x² - 2x - 15 = 0]

(x - 5) (x + 2) = 0 [حل کرنے کے بعد حاصل کردہ نتیجہ x² - 3x - 10 = 0]

(x - 4) (x + 2) = 0 [حل کرنے کے بعد حاصل کردہ نتیجہ ہے x² - 2x - 8 = 0]

(2x + 3) (3x - 2) = 0 [حل کرنے کے بعد حاصل کردہ نتیجہ 6x² + 5x - 6 ہے]

ذیل میں ایک چوکور مساوات کی مثالیں موجود ہیں جن میں لکیری شریک - موثر 'bx' کی

 عدم موجودگی ہے

2x² - 64 = 0۔

x² - 16 = 0۔

9x² + 49 = 0۔

-2x² -4 = 0۔

4x² + 81 = 0۔

-x² -9 = 0۔

چوکور مساوات کو کیسے حل کیا جائے؟( How to Solve Quadratic Equations?)

چوکور مساوات کو حل کرنے کے بنیادی طور پر چار طریقے ہیں۔ وہ ہیں:

فیکٹرنگ۔

چوک مکمل کرنا۔

چوکور فارمولا کا استعمال

مربع جڑ لینا۔

فیکٹرنگ۔( Factoring)

شکل ax² + bx + c = 0 کی مساوات سے شروع کریں۔

یقینی بنائیں کہ یہ کافی صفر پر سیٹ ہے۔

مساوات کے دائیں ہاتھ پر صفر فرض کر کے مساوات کے بائیں ہاتھ کا فیکٹر کریں۔

ہر عنصر کو صفر کے برابر تفویض کریں۔

اب x کی اقدار کا تعین کرنے کے لیے مساوات کو حل کریں۔

فرض کریں کہ اگر اہم گتانک ایک کے برابر نہیں ہے تو پھر جان بوجھ کر ، آپ کو عوامل کی

 ترتیب میں

 ایک طریقہ کار پر عمل کرنا ہوگا۔

مثال:

2x²-x-6 = 0۔

(2x+3) (x-2) = 0۔

2x+3 = 0۔

x = -3/2۔

x = 2۔

چوک کو مکمل کرنا۔( Completing the Square)

آئیے یہ طریقہ مثال کے ساتھ سیکھیں۔

مثال: 2x2 - x - 1 = 0 حل کریں۔

سب سے پہلے ، مستقل اصطلاح کو مساوات کے دوسری طرف منتقل کریں۔

2x2 - x = 1۔

دونوں اطراف کو 2 سے تقسیم کرنا۔

x2 - x/2 =۔

دونوں اطراف x ، (b/2a) 2 کے گتانک کے نصف کا مربع شامل کریں ، یعنی 1/16

x2 - x/2 + 1/16 = ½ + 1/16۔

اب ہم دائیں طرف کو فیکٹر کر سکتے ہیں ،

(x-¼) 2 = 9/16 = (¾) 2۔

دونوں طرف سے جڑ پکڑنا

X - ¼ = ± 3/4۔

دونوں طرف ¼ شامل کریں۔

ایکس = ¼

لہذا ،

X = ¼ + ¾ = 4/4 = 1۔

X = ¼ -¾ = -2/4 = -½۔