SETS AND OPERATIONS ON SETS by Ayna's Math Treasure

 

سیٹ(SET)

سیٹوں کو اچھی طرح سے متعین اشیاء یا عناصر کے مجموعے کے طور پر پیش کیا جاتا ہے اور یہ ایک شخص سے دوسرے شخص میں تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ ایک سیٹ کیپٹل لیٹر سے ظاہر ہوتا ہے۔ محدود سیٹ میں عناصر کی تعداد کو ایک سیٹ کا کارڈنل نمبر کہا

جاتا ہے۔

 

ایک سیٹ کے عناصر کیا ہیں؟( What are the Elements of a Set)

آئیے ایک مثال لیتے ہیں:

A = {3 ، 2 ، 1}

چونکہ ایک سیٹ عام طور پر بڑے حروف سے ظاہر ہوتا ہے۔ اس طرح ، A سیٹ ہے اور 1 ، 2 ، 3  سیٹ کے عناصر یا سیٹ کے ارکان ہیں۔ جو عناصر سیٹ میں لکھے گئے ہیں وہ کسی بھی ترتیب میں ہو سکتے ہیں لیکن دہرائے نہیں جا سکتے۔ حروف تہجی کی صورت میں تمام سیٹ عناصر کو چھوٹے حروف میں پیش کیا جاتا ہے۔ اس کے علاوہ ، ہم اسے 1 ∈ A ، 2 ∈ A وغیرہ لکھ سکتے ہیں۔

 

N: تمام قدرتی نمبروں کا سیٹ۔

Z: تمام عدد کا سیٹ

: تمام عقلی نمبروں کا سیٹ۔

R: تمام حقیقی اعداد کا سیٹ۔

Z+: تمام مثبت عدد کا مجموعہ۔

 

آرڈر آف سیٹس۔( Order of Sets)

ایک سیٹ کی ترتیب ایک سیٹ میں موجود عناصر کی تعداد کی وضاحت کرتی ہے۔ یہ ایک سیٹ کے سائز کو بیان کرتا ہے۔ سیٹ کی ترتیب کو کارڈنلٹی بھی کہا جاتا ہے۔

 

سیٹ کا سائز چاہے وہ ایک محدود سیٹ ہو یا لامحدود سیٹ ، بالترتیب محدود ترتیب یا لامحدود ترتیب کا سیٹ کہا جاتا ہے۔

 

سیٹوں کی نمائندگی(Representation of Sets)۔

سیٹوں کی نمائندگی گھوبگھرالی منحنی خطوط وحدانی میں ہوتی ہے ، {}۔ مثال کے طور پر ، {2،3،4} یا {a، b، c} یا {Bat، Ball، Wickets}۔ سیٹ میں موجود عناصر کو بیان فارم ، روسٹر فارم یا سیٹ بلڈر فارم میں دکھایا گیا ہے۔

 

بیان فارم(Statement Form)

بیان کی شکل میں ، ایک سیٹ کے ممبر کی اچھی طرح سے بیان کردہ تفصیل لکھی ہوئی ہے اور گھوبگھرالی بریکٹ میں بند ہے۔

 

مثال کے طور پر ، 15 سے کم عدد کا مجموعہ۔

 

روسٹر فارم(Roster Form)

روسٹر فارم میں ، ایک سیٹ کے تمام عناصر درج ہیں۔

 

مثال کے طور پر ، 5 سے کم قدرتی نمبروں کا مجموعہ۔

 

قدرتی نمبر = 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، ………

 

قدرتی تعداد 5 سے کم = 1 ، 2 ، 3 ، 4۔

 

لہذا ، سیٹ ہے N = {1، 2، 3، 4}

 

بلڈر فارم سیٹ(Set Builder Form)

عام شکل ہے ، A = {x: property}

 

مثال: سیٹ بلڈر فارم میں درج ذیل سیٹ لکھیں: A = {2، 4، 6، 8}

 

سیٹ بلڈر فارم A = {x: x = 2n ، n ∈ N اور 1 ≤ n ≤ 4} ہے

 

سیٹ کی اقسام۔( Types of Sets)

ہمارے پاس ریاضی میں کئی قسم کے سیٹ ہیں۔ وہ خالی سیٹ ، محدود اور لامحدود سیٹ ، مناسب سیٹ ، برابر سیٹ وغیرہ ہیں۔ آئیے یہاں سیٹوں کی درجہ بندی سے گزرتے ہیں۔

 

خالی سیٹ۔( Empty Set)

ایک سیٹ جس میں کوئی عنصر نہ ہو اسے خالی سیٹ یا باطل سیٹ یا کالعدم سیٹ کہا جاتا ہے۔ اسے {} یا by سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

 

انگور کی ٹوکری میں سیب کا ایک سیٹ خالی سیٹ کی ایک مثال ہے کیونکہ انگور کی ٹوکری میں کوئی سیب موجود نہیں ہے۔

 

سنگلٹن سیٹ۔( Singleton Set)

ایک سیٹ جس میں ایک عنصر ہوتا ہے اسے سنگلٹن سیٹ کہا جاتا ہے۔

 

مثال: انگور کی ٹوکری میں صرف ایک سیب ہے۔

 

محدود سیٹ۔( Finite set)

ایک سیٹ جو عناصر کی ایک مخصوص تعداد پر مشتمل ہوتا ہے اسے ایک محدود سیٹ کہا جاتا ہے۔

 

مثال:

A = {1،2،3،4،5،6،7،8،9،10}

 

لامحدود سیٹ۔( Infinite set)

ایک سیٹ جو محدود نہیں ہے اسے لامحدود سیٹ کہا جاتا ہے۔

 

مثال:

 

A = {1،2،3،4،5،6،7،8،9 ……}

 

مساوی سیٹ۔( Equivalent set)

اگر عناصر کی تعداد دو مختلف سیٹوں کے لیے یکساں ہے ، تو انہیں مساوی سیٹ کہا جاتا ہے۔ سیٹوں کی ترتیب سے یہاں کوئی فرق نہیں پڑتا۔ اس کی نمائندگی اس طرح کی جاتی ہے:

 

 n (A) = n (B)

 

جہاں A اور B دو مختلف سیٹ ہیں جس میں عناصر کی ایک ہی تعداد ہے۔

 

مثال: اگر A = {1،2،3،4} اور B = {سرخ ، نیلا ، سبز ، سیاہ}

 

سیٹ اے میں چار عناصر ہیں اور سیٹ بی میں بھی چار عناصر ہیں۔ لہذا ، سیٹ اے اور سیٹ بی برابر ہیں۔

 

برابر سیٹ۔( Equal sets)

دو سیٹ A اور B برابر کہے جاتے ہیں اگر ان میں بالکل ایک جیسے عناصر ہوں تو عناصر کی ترتیب سے کوئی فرق نہیں پڑتا۔

 

مثال: A = {1،2،3،4} اور B = {4،3،2،1}

 

A = B

 

جداگانہ سیٹ(Disjoint Sets)

دو سیٹ A اور B کو جدا کہا جاتا ہے اگر سیٹ میں کوئی عام عنصر نہ ہو۔

 

مثال: سیٹ A = {1،2،3،4} اور سیٹ B = {5،6،7،8} الگ الگ سیٹ ہیں ، کیونکہ ان کے درمیان کوئی مشترک عنصر نہیں ہے۔

 

سبسیٹس(Subsets)

ایک سیٹ 'A' کو B کا سب سیٹ کہا جاتا ہے اگر A کا ہر عنصر B کا بھی عنصر ہو ، جسے A ⊆ B کہا جاتا ہے یہاں تک کہ کالعدم سیٹ کو دوسرے سیٹ کا سب سیٹ سمجھا جاتا ہے۔ عام طور پر ، ایک سب سیٹ دوسرے سیٹ کا ایک حصہ ہوتا ہے۔

 

مثال: A = {1،2،3}

 

پھر {1،2} ⊆ A.

 

اسی طرح ، سیٹ A کے دوسرے سب سیٹ ہیں: {1} ، {2} ، {3} ، {1،2} ، {2،3} ، {1،3} ، {1،2،3} ، {}۔

 

نوٹ: سیٹ بھی خود کا ایک سب سیٹ ہے۔

 

اگر A B کا سب سیٹ نہیں ہے ، تو اسے A⊄B کہا جاتا ہے۔

 

مناسب سب سیٹ۔( Proper Subset)

اگر A ⊆ B اور A ≠ B ، تو A کو B کا مناسب سب سیٹ کہا جاتا ہے اور اسے A⊂B لکھا جا سکتا ہے۔

 

مثال: اگر A = {2،5،7} B = {2،5،7} کا سب سیٹ ہے تو یہ B = {2،5،7} کا مناسب سب سیٹ نہیں ہے

 

لیکن ، A = {2،5} B = {2،5،7} کا سب سیٹ ہے اور ایک مناسب سب سیٹ بھی ہے۔

 

سپر سیٹ۔( Superset)

سیٹ A کو B کا سپر سیٹ کہا جاتا ہے اگر سیٹ B کے تمام عناصر سیٹ A کے عناصر ہوں تو اسے A ⊃ B کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔

 

مثال کے طور پر ، اگر A = {1، 2، 3، 4} اور B = {1، 3، 4} سیٹ کریں ، تو A سیٹ B کا سپر سیٹ ہے۔

 

یونیورسل سیٹ۔( Universal Set)

ایک سیٹ جس میں ایک مخصوص حالت سے متعلق تمام سیٹ ہوتے ہیں اسے یونیورسل سیٹ کہا جاتا ہے۔ یہ تمام ممکنہ اقدار کا مجموعہ ہے۔

 

مثال: اگر A = {1،2،3} اور B {2،3،4،5} ، تو یہاں یونیورسل سیٹ ہوگا:

 

U = {1،2،3،4،5}

سیٹوں پر آپریشن۔( Operations on Sets)

سیٹ تھیوری میں ، سیٹوں کی کاروائیاں اس وقت کی جاتی ہیں جب دو یا زیادہ سیٹ مل کر کچھ دی گئی شرائط کے تحت ایک سیٹ بناتے ہیں۔ سیٹ پر بنیادی کام یہ ہیں:

 

سیٹوں کی یونین۔

سیٹوں کا چوراہا۔

ایک سیٹ کی تکمیل۔

سیٹوں کی کارٹیسین پروڈکٹ۔

فرق مقرر کریں۔

بنیادی طور پر ، ہم وین ڈایاگرام کا استعمال کرتے ہوئے ، یونین اور سیٹ آپریشنز کے چوراہے پر زیادہ کام کرتے ہیں۔

 

یونین آف سیٹس۔( Union of sets)

اگر سیٹ A اور سیٹ B دو سیٹ ہیں ، تو A یونین B وہ سیٹ ہے جس میں سیٹ A اور سیٹ B کے تمام عناصر ہوتے ہیں۔

 

مثال: سیٹ A = {1،2،3} اور B = {4،5،6} ، پھر A یونین B ہے:

 

A ∪ B = {1،2،3،4،5،6}

 

سیٹوں کا چوراہا۔( Intersection of Sets)

اگر سیٹ A اور سیٹ B دو سیٹ ہیں ، تو A چوراہا B وہ سیٹ ہے جس میں سیٹ A اور سیٹ B کے درمیان صرف مشترک عناصر ہوتے ہیں۔ اسے A ∩ B کہا جاتا ہے۔

 

مثال: سیٹ A = {1،2،3} اور B = {4،5،6} ، پھر A چوراہا B ہے:

 

A ∩ B = {} یا۔

 

چونکہ A اور B میں کوئی عنصر مشترک نہیں ہے ، لہذا ان کا چوراہا null سیٹ دے گا۔

 

 

سیٹوں کی تکمیل۔( Complement of Sets)

کسی بھی سیٹ کی تکمیل ، پی کہو ، آفاقی سیٹ کے تمام عناصر کا مجموعہ ہے جو کہ سیٹ پی میں نہیں ہے۔

 

تکمیلی سیٹوں کی خصوصیات

 

P ∪ P ′ = U

پی ∩ پی ′ =۔

دوہری تکمیل کا قانون: (P ′) ′ = P۔

خالی/کالے سیٹ (Φ) اور یونیورسل سیٹ (U) ، Φ ′ = U اور U ′ = Law کے قوانین۔

 

سیٹوں کی کارٹیسین پروڈکٹ۔( Cartesian Product of sets)

اگر سیٹ A اور سیٹ B دو سیٹ ہیں تو سیٹ A اور سیٹ B کی کارٹشین پروڈکٹ تمام آرڈرڈ جوڑوں (a، b) کا ایک سیٹ ہے ، جیسے کہ A A کا عنصر ہے اور B B کا عنصر ہے۔ A × B سے ظاہر ہوتا ہے