POLYNOMIALS AND ALGORITHM by Ayna's Math Treasure

 

ہم ریاضی کے عمل کو انجام دے سکتے ہیں جیسے اضافے ، گھٹاؤ ، ضرب اور مثبت عدد عدد کو کثیر الجہتی اظہارات کے لیے لیکن متغیر سے تقسیم نہیں۔ ایک متغیر کے ساتھ ایک کثیر کی مثال x2+x-12 ہے۔

اس مثال میں

 ، تین شرائط ہیں: x2 ، x اور -12۔

 

لفظ پولینومیل یونانی الفاظ 'پولی' سے ماخوذ ہے جس کا مطلب ہے 'بہت سے' اور 'برائے نام' کا مطلب ہے 'شرائط'

، لہذا مجموعی طور پر اس نے "بہت سی اصطلاحات" کہا۔ ایک کثیر تعداد میں شرائط کی کوئی بھی تعداد ہوسکتی ہے لیکن لامحدود نہیں۔ اس مضمون میں ڈگری ، شرائط ، اقسام ، خواص ، کثیرالجہتی افعال کے بارے میں جانیں

 

ایک پولینومیل کیا ہے؟(What is a Polynomial?)

پولینومیل دو شرائط پر مشتمل ہے ، یعنی پولی (جس کا مطلب ہے "بہت سے") اور برائے نام (جس کا مطلب ہے "اصطلاحات")۔ ایک کثیر الثانی کو ایک ایکسپریشن کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو متغیرات ، قسطوں اور اعشاریہ پر مشتمل ہوتا ہے ، جو کہ ریاضی کی کارروائیوں جیسے جوڑ ، گھٹاؤ ، ضرب اور تقسیم (ایک متغیر کی طرف سے کوئی تقسیم آپریشن) کا استعمال کرتے ہوئے ملایا جاتا ہے۔ اظہار میں موجود شرائط کی تعداد کی بنیاد پر ، اس کی درجہ بندی monomial ، binomial اور trinomial کے طور پر کی جاتی ہے۔ اقسام ، متغیرات اور خطوط کی مثالیں مندرجہ ذیل ہیں:

 

مستقل مثال: 1 ، 2 ، 3 ، وغیرہ

متغیرات مثال: g ، h ، x ، y ، وغیرہ۔

ایکسپوانٹس: مثال: 5 x5 وغیرہ میں

نوٹیشن(Notation)

کثیر فعل P (x) سے ظاہر ہوتا ہے جہاں x متغیر کی نمائندگی کرتا ہے۔ مثال کے طور پر،

 

P (x) = x2-5x+11۔

 

اگر متغیر کو a سے ظاہر کیا جاتا ہے ، تو فنکشن P (a) ہوگا

 

 

کثیر الثانی کی ڈگری۔(Degree of a Polynomial)

ایک کثیر الجہتی کی ڈگری کو ایک کثیر الجہتی کے اندر ایک مونوئل کی اعلی ترین ڈگری کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ اس طرح ، ایک متغیر مساوات جس میں ایک متغیر ہوتا ہے جس کا سب سے بڑا ایکسپوینٹ ہوتا ہے اسے پولینومیل کی ڈگری کہا جاتا ہے۔

 

پولینومیل ڈگری کی مثال  POLYNOMIAL  DEGREE EXAMPLE

مسلسل یا زیرو پولینومیل 0 6۔

لکیری پولینومیل 1 3x+1

چوکور پولینومیل 2 4x2+1x+1۔

کیوبک پولینومیل 3 6x3+4x3+3x+1۔

کوارٹک پولینومیل 4 6x4+3x3+3x2+2x+1۔

مثال: کثیر 6s4+ 3x2+ 5x +19 کی ڈگری تلاش کریں۔

 

حل:

 

کثیر المثال کی ڈگری 4 ہے۔

کثیر الجہتی شرائط۔(Terms of a Polynomial)

پولینومیلس کی شرائط مساوات کے وہ حصے ہیں جو عام طور پر "+" یا "-" نشانوں سے الگ ہوتے ہیں۔ لہذا ، 

ایک مساوات میں ایک کثیر کا ہر حصہ ایک اصطلاح ہے۔ مثال کے طور پر ، ایک کثیر میں ، کہتے ہیں

 ، 2x2 + 5 +4 ، شرائط کی تعداد 3 ہوگی۔ ایک کثیر کی درجہ بندی اس میں شرائط کی تعداد کی بنیاد پر کی جاتی ہے۔

کثیر شرائط کی ڈگری۔

P (x) = x3-2x2+3x+4 x3 ، -2x2 ، 3x اور 4 3

پولینومیلس کی اقسام۔(Types of Polynomials)

Polynomials 3 مختلف اقسام کے ہیں اور اس میں شرائط کی تعداد کی بنیاد پر درجہ بندی کی جاتی ہے۔ 

کثیر الثانی کی تین اقسام ہیں:

یکطرفہ
دو طرفہ
سہ رخی

ان کثیرالاضافہ کو جمع ، گھٹاؤ ، ضرب اور تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے جوڑا جا سکتا ہے لیکن کبھی متغیر

 سے تقسیم نہیں ہوتا۔ غیر کثیر الثانی کی چند مثالیں یہ ہیں: 1/x+2 ، x-3۔

یکطرفہ(Monomial)

ایک مونومیل ایک ایسا اظہار ہے جس میں صرف ایک اصطلاح ہوتی ہے۔ ایک اظہار کو یکسانی کے لیے 

، واحد اصطلاح غیر صفر اصطلاح ہونی چاہیے۔ monomials کی چند مثالیں یہ ہیں:

5x

3۔

6 اے 4۔

-3 آکسی۔

دو طرفہ(Binomial)

ایک بائنومیل ایک کثیر الجہتی اظہار ہے جس میں بالکل دو شرائط ہیں۔ ایک بائنومیل کو دو یا زیادہ

 مونومیلز کے درمیان رقم یا فرق سمجھا جاسکتا ہے۔ بائنومیل کی چند مثالیں یہ ہیں:

- 5x+3 ،

6a4 + 17x

xy2+xy

سہ رخی(Trinomial)

ایک تثلیث ایک اظہار ہے جو بالکل تین شرائط پر مشتمل ہے۔ تثلیثی تاثرات کی چند مثالیں یہ ہیں:

- 8a4+2x+7۔

4x2 + 9x + 7۔

Monomial Binomial Trinomial

ایک اصطلاح دو شرائط تین شرائط۔

مثال: x ، 3y ، 29 ، x/2 مثال: x2+x ، x3-2x ، y+

الگورتھم  ALGORITHM
الگورتھم سائنس کی بہت سی
شاخوں میں استعمال ہوتے ہیں (اور اس معاملے کے لیے روزمرہ کی زندگی) ، لیکن شاید
سب سے عام مثال یہ ہے کہ لمبی تقسیم میں مرحلہ وار طریقہ کار استعمال کیا جاتا ہے۔
کسی مسئلے کو حل کرنے کا
عمل جیسا کہ "73 کو 3 سے تقسیم کیا جاتا ہے" مندرجہ ذیل الگورتھم کے
ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے۔
3 کتنی بار 7 میں جاتا ہے؟
جواب 2 ہے۔
کتنے باقی ہیں؟ 1۔
1 (دس) کو 3 کے سامنے
رکھیں۔
3 13 میں کتنی بار جاتا
ہے؟
جواب ایک کے بقیہ کے ساتھ
4 ہے۔
اور ظاہر ہے ، جواب 1 کے
بقیہ کے ساتھ 24 ہے۔
اوپر بیان کردہ مرحلہ وار
طریقہ کار کو طویل تقسیم الگورتھم کہا جاتا ہے۔
الگورتھم
کیوں؟( Why Algorithms?)
اگرچہ مذکورہ بالا تفصیل
تھوڑی تفصیلی اور مضحکہ خیز لگ سکتی ہے ، الگورتھم ریاضی کرنے کے موثر طریقے تلاش
کرنے کے بارے میں ہیں۔ جیسا کہ گمنام ریاضی دان کہتا ہے ، 'ریاضی دان سست ہیں اس
لیے وہ ہمیشہ شارٹ کٹ کی تلاش میں رہتے ہیں۔' الگورتھم ان شارٹ کٹس کو تلاش کرنے
کے لیے ہیں
ضرب کے لیے ایک بیس لائن
الگورتھم ، مثال کے طور پر ، شاید ایک ہی نمبر کو بار بار شامل کر رہا ہو۔ تو ،
3،546 اوقات 5 کو چار مراحل میں بیان کیا جا سکتا ہے:
3546 جمع 3546 کتنا ہے؟
7092۔
7092 جمع 3546 کتنا ہے؟
10638۔
10638 جمع 3546 کتنا ہے؟
14184۔
14184 جمع 3546 کتنا ہے؟
17730۔
پانچ گنا 3،546 17،730 ہے۔
لیکن 3،546 کو 654 سے ضرب دینے سے 653 اقدامات ہوں گے۔ کون بار بار نمبر شامل کرتا
رہنا چاہتا ہے؟ اس کے لیے ضرب الگورتھم کا ایک سیٹ ہے۔ آپ جس کا انتخاب کرتے ہیں
اس پر منحصر ہوتا ہے کہ آپ کا نمبر کتنا بڑا ہے۔ ایک الگورتھم عام طور پر ریاضی
کرنے کا سب سے موثر (ہمیشہ نہیں) طریقہ ہے۔
الجبرا
کی عام مثالیں(Common Algebraic
Examples)
FOIL
(اول ، باہر ، اندر ، آخری) ایک الگورتھم ہے جو الجبرا میں استعمال ہوتا ہے جو کہ
کثیر الثانی میں استعمال ہوتا ہے: طالب علم کو یاد ہے کہ ایک کثیر الجہتی اظہار کو
صحیح ترتیب میں حل کریں:
حل کرنے کے لیے (4x + 6) (x + 2) ، FOIL الگورتھم یہ ہوگا:
قوسین میں پہلی شرائط کو ضرب دیں (4x اوقات x = 4x2)
باہر کی دو شرائط کو ضرب دیں (4x اوقات 2 = 8x)
اندرونی شرائط کو ضرب دیں (6 گنا x = 6x)
آخری شرائط کو ضرب دیں (6 بار 2 = 12)
4x2 + 14x + 12 حاصل کرنے کے لیے تمام نتائج کو ایک ساتھ شامل کریں)
بیڈماس (بریکٹ ، ایکسپونٹ ، ڈویژن ، ضرب ، اضافہ اور گھٹاؤ۔) ایک اور مفید سیٹ ہے اور اسے فارمولا بھی سمجھا 
جاتا ہے۔ بیڈماس کا طریقہ ریاضی کے کاموں کے ایک سیٹ کو آرڈر کرنے کا طریقہ ہے۔

الگورتھم پڑھانا۔( Teaching Algorithms)
ریاضی کے کسی بھی نصاب میں الگورتھم کو اہم مقام حاصل ہے۔ پرانے زمانے کی حکمت عملیوں میں قدیم الگورتھم کی
 حفظ حفظ شامل ہے۔ لیکن جدید اساتذہ نے الگورتھم کے خیال کو مؤثر طریقے سے سکھانے کے لیے کئی سالوں سے
نصاب تیار کرنا شروع کیا ہے ، کہ پیچیدہ مسائل کو حل کرنے کے کئی طریقے ہیں جنہیں طریقہ کار کے مراحل میں
 تقسیم کیا جاتا ہے۔ کسی بچے کو تخلیقی طور پر مسائل کو حل کرنے کے طریقے ایجاد کرنے کی اجازت دینا الگورتھمک 
سوچ کی ترقی کے طور پر جانا جاتا ہے۔
 
جب اساتذہ طلباء کو ریاضی کرتے ہوئے دیکھتے ہیں تو ان کے سامنے ایک بڑا سوال یہ پیدا ہوتا ہے کہ "کیا آپ ایسا
 کرنے کا کوئی چھوٹا طریقہ سوچ سکتے ہیں؟" بچوں کو مسائل کو حل
 کرنے کے اپنے طریقے بنانے کی اجازت دینا ان کی سوچ اور تجزیاتی
 مہارت کو بڑھاتا ہے۔
ریاضی سے باہر۔( Outside of Math)

طریقہ کار کو زیادہ موثر بنانے کے لیے ان کو عملی جامہ پہنانا سیکھنا کوشش کے کئی شعبوں میں ایک اہم
 مہارت ہے۔ کمپیوٹر سائنس ریاضی اور الجبری مساوات میں مسلسل بہتری لاتی ہے تاکہ کمپیوٹر زیادہ موثر 
طریقے سے چل سکے۔ لیکن ایسا ہی باورچی کرتے ہیں ، جو دال کا سوپ یا پکن پائی بنانے کا بہترین نسخہ بنانے 
کے لیے اپنے عمل کو مسلسل بہتر بناتے ہیں۔
 
دوسری مثالوں میں آن لائن ڈیٹنگ شامل ہے ، جہاں صارف اپنی ترجیحات اور خصوصیات کے بارے میں ایک فارم
 بھرتا ہے ، اور ایک الگورتھم ان انتخابوں کو ایک بہترین ممکنہ ساتھی چننے کے لیے استعمال کرتا ہے۔ کمپیوٹر ویڈیو
 گیمز کہانی سنانے کے لیے الگورتھم استعمال کرتی ہیں: صارف فیصلہ کرتا ہے ، اور کمپیوٹر اس فیصلے پر اگلے مراحل 
کی بنیاد رکھتا ہے۔ جی پی ایس سسٹم الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے کئی سیٹلائٹ سے ریڈنگ کو بیلنس کرتا ہے 
تاکہ آپ کا درست مقام اور آپ کے ایس یو وی کے لیے بہترین راستہ کی شناخت کی جا سکے۔ گوگل آپ کی تلاشوں پر
 مبنی الگورتھم استعمال کرتا ہے تاکہ آپ کی سمت میں مناسب اشتہارات کو آگے بڑھایا جا سکے۔
 
کچھ لکھنے والے آج 21 ویں صدی کو الگورتھم کا دور بھی کہہ رہے ہیں۔ وہ آج ہم روزانہ پیدا کر رہے ڈیٹا کی بڑی
 مقدار سے نمٹنے کا ایک طریقہ ہیں۔