ALGEBRA|TYPES OF ALGEBRA|ALGEBRA EXPLANATION by Ayna's Math Treasure

 

ALGEBRA

الجبرا ریاضی کے اظہار کے طور پر مسائل یا حالات کی نمائندگی میں مدد کرتا ہے۔ اس میں متغیرات جیسے x ، y ، z ، اور ریاضی کے عمل جیسے اضافہ ، گھٹاؤ ، ضرب ، اور تقسیم شامل ہیں تاکہ معنی خیز ریاضی کا اظہار ہو۔ ریاضی کی تمام شاخیں جیسے مثلث ، حساب ، کوآرڈینیٹ جیومیٹری ، الجبرا کا استعمال شامل ہے۔ الجبرا میں اظہار کی ایک سادہ مثال 2x + 4 = 8 ہے

۔

الجبرا علامتوں سے متعلق ہے اور یہ علامتیں آپریٹرز کی مدد سے ایک دوسرے سے متعلق ہیں۔ یہ محض ایک ریاضی کا تصور نہیں ہے ، بلکہ ایک ایسی مہارت ہے جسے ہم سب اپنی روز مرہ کی زندگی میں اس کا احساس کیے بغیر بھی استعمال کرتے ہیں۔ الجبرا کو بطور تصور سمجھنا مساوات کو حل کرنے اور صحیح جواب تلاش کرنے سے زیادہ اہم ہے ، کیونکہ یہ ریاضی کے دیگر تمام موضوعات میں مفید ہے جو آپ مستقبل میں سیکھنے جا رہے ہیں یا آپ ماضی میں سیکھ چکے ہیں۔

 

الجبرا کیا ہے؟    ?WHAT IS ALGEBRA

الجبرا ریاضی کی ایک شاخ ہے جو ان علامتوں میں علامتوں اور ریاضی کے عمل سے متعلق ہے۔ ان علامتوں کی کوئی مقررہ اقدار نہیں ہیں اور انہیں متغیر کہا جاتا ہے۔ ہماری حقیقی زندگی کے مسائل میں ، ہم اکثر کچھ اقدار دیکھتے ہیں جو بدلتی رہتی ہیں۔ لیکن ان بدلتی ہوئی اقدار کی نمائندگی کی مستقل ضرورت ہے۔ یہاں الجبرا میں ، یہ اقدار اکثر علامتوں جیسے x ، y ، z ، p ، یا q کی نمائندگی کرتی ہیں ، اور ان علامتوں کو متغیر کہا جاتا ہے۔ مزید یہ کہ یہ علامتیں اقدار کو تلاش کرنے کے مقصد کے ساتھ اضافے ، گھٹاؤ ، ضرب اور تقسیم کی مختلف ریاضی کی کارروائیوں کے ذریعے ہیرا پھیری کی جاتی ہیں۔

3x+4 = 28۔

 

مندرجہ بالا الجبری اظہارات متغیرات ، آپریٹرز اور مستقلوں سے بنے ہیں۔ یہاں نمبر 4 ، 28 مستقل ہیں ، x متغیر ہے ، اور اضافے کا ریاضی کا عمل انجام دیا جاتا ہے۔

 

 

الجبرا کی شاخیں۔        BRANCHES OF ALGEBRA

الجبرا کی پیچیدگی کو متعدد الجبری اظہارات کے استعمال سے آسان بنایا گیا ہے۔ استعمال اور اظہار کی پیچیدگی کی بنیاد پر ، الجبرا کو مختلف شاخوں میں درجہ بندی کیا جا سکتا ہے جو ذیل میں درج ہیں:

• پری الجبرا۔

 ابتدائی الجبرا۔

 خلاصہ الجبرا۔

• یونیورسل الجبرا۔

پری الجبرا-              PRE ALGEBRA

نامعلوم اقدار کو بطور متغیر پیش کرنے کے بنیادی طریقے ریاضی کے تاثرات بنانے میں مدد کرتے ہیں۔ یہ حقیقی زندگی کے مسائل کو ریاضی میں الجبری اظہار میں تبدیل کرنے میں مدد کرتا ہے۔ دیئے گئے مسئلے کے بیان کے ریاضیاتی اظہار کی تشکیل پری الجبرا کا حصہ ہے۔

ابتدائی الجبرا۔

ابتدائی الجبرا ایک قابل عمل جواب کے لیے الجبری اظہارات کو حل کرنے سے متعلق ہے۔ ابتدائی الجبرا میں ، سادہ متغیر جیسے x ، y ، مساوات کی شکل میں ظاہر ہوتے ہیں۔ متغیر کی ڈگری کی بنیاد پر ، مساوات کو لکیری مساوات ، چوکور مساوات ، کثیر المثال کہتے ہیں۔ لکیری مساوات ax + b = c ، ax + by + c = 0 ، ax + by + cz + d = 0. کی شکل میں ہوتی ہے۔ ایک چوکور مساوات کی نمائندگی کی ایک عام شکل ax2 + bx + c = 0 ہے اور ایک کثیر مساوات کے لیے یہ axn + bxn-1 + cxn-2 + ..... k = 0 ہے۔

خلاصہ الجبرا۔  ELEMENTRY ALGEBRA

خلاصہ الجبرا خلاصہ تصورات جیسے گروہوں ، انگوٹھیوں ، ویکٹروں کی بجائے سادہ ریاضیاتی نمبر سسٹم کے استعمال سے متعلق ہے۔ انگوٹھی ایک سادہ سطح کی تجرید ہیں جو اضافہ اور ضرب کی خصوصیات کو ایک ساتھ لکھ کر پائی جاتی ہیں۔ گروپ تھیوری اور رنگ تھیوری خلاصہ الجبرا کے دو اہم تصورات ہیں۔ خلاصہ الجبرا کمپیوٹر سائنسز ، فزکس ، فلکیات میں متعدد ایپلی کیشنز ڈھونڈتا ہے ، اور مقدار کی نمائندگی کے لیے ویکٹر اسپیس استعمال کرتا ہے۔

عالمگیر الجبرا۔   UNIVERSAL ALGEBRA

دیگر تمام ریاضی کی شکلیں جن میں مثلث ، کیلکولس ، کوآرڈینیٹ جیومیٹری شامل ہے الجبری اظہارات کو عالمگیر الجبرا شمار کیا جا سکتا ہے۔ ان موضوعات پر ، عالمگیر الجبرا ریاضیاتی تاثرات کا مطالعہ کرتا ہے اور اس میں الجبرا کے ماڈلز کا مطالعہ شامل نہیں ہوتا ہے۔ الجبرا کی دیگر تمام شاخوں کو عالمگیر الجبرا کا سب سیٹ سمجھا جا سکتا ہے۔ حقیقی زندگی کے کسی بھی مسئلے کو ریاضی کی ایک شاخ میں درجہ بندی کیا جا سکتا ہے اور خلاصہ الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے۔

 

الجبرا کے موضوعات۔   TYPES OF ALGEBRA

الجبرا کو متعدد موضوعات میں تقسیم کیا گیا ہے تاکہ تفصیلی مطالعہ کیا جا سکے۔ یہاں ہم نے ذیل میں الجبرا کے کچھ اہم موضوعات درج کیے ہیں جیسے الجبرا کے تاثرات اور مساوات ، ترتیب اور سلسلہ ، ایکسپوینٹس ، لوگرتھم اور سیٹ۔

الجبری اظہارات۔      ALGEBRIC EXPRESSION

الجبرا میں ایک الجبری اظہار عددی استحکام ، متغیرات ، اور اضافے (+) ، گھٹاؤ (-) ، ضرب (×) ، اور تقسیم (/) کے بنیادی ریاضی کے استعمال سے تشکیل پایا ہے۔ الجبری اظہار کی ایک مثال 5x + 6 ہے۔ یہاں 5 اور 6 فکسڈ نمبر ہیں اور x ایک متغیر ہے۔ مزید یہ کہ متغیرات حروف تہجی جیسے x ، y ، z کا استعمال کرتے ہوئے سادہ متغیر ہو سکتے ہیں یا x2 ، x3 ، xn ، xy ، x2y وغیرہ جیسے پیچیدہ متغیرات ہو سکتے ہیں۔ ایک کثیر الثانی ایک ایسا اظہار ہے جو متغیرات پر مشتمل ہوتا ہے (جسے غیر متعین بھی کہا جاتا ہے) ، گتانک ، اور متغیرات کے غیر منفی عدد عدد۔ مثال: 5x3 + 4x2 + 7x + 2 = 0۔

ایک مساوات ایک ریاضیاتی بیان ہے جس میں دو الجبری اظہارات کے درمیان 'برابر' کی علامت ہوتی ہے جس کی قدریں برابر ہوتی ہیں۔ متغیر کی ڈگری کی بنیاد پر مساوات کی مختلف اقسام ذیل میں دی گئی ہیں ، جہاں ہم الجبرا کے تصور کو لاگو کرتے ہیں۔

 لکیری مساوات:

 لکیری مساوات x ، y ، z جیسے متغیر کے مابین تعلقات کی نمائندگی کرنے میں مدد کرتی ہیں ، اور ایک ڈگری کے بیانات میں اظہار کیا جاتا ہے۔ ان لکیری مساوات میں ، ہم الجبرا استعمال کرتے ہیں ، بنیادی باتوں سے شروع کرتے ہوئے جیسے الجبری اظہارات کا اضافہ اور گھٹاؤ-

 دوہری مساوات:

 ایک چوکور مساوات کو معیاری شکل میں ax2 + bx + c = 0 کے طور پر لکھا جا سکتا ہے ، جہاں a ، b ، c مستقل ہیں اور x متغیر ہے۔ x کی اقدار جو مساوات کو مطمئن کرتی ہیں انہیں مساوات کا حل کہا جاتا ہے ، اور ایک چوکور مساوات میں زیادہ سے زیادہ دو حل ہوتے ہیں۔

 مکعب مساوات:

 الجبری مساوات جن میں متغیرات 3 ہوتے ہیں ان کو مکعب مساوات کہا جاتا ہے۔ کیوبک مساوات کی عمومی شکل ax3 + bx2 + cx + d = 0. ہے۔

سلسلہ اور سلسلہ۔     SEQUENCE AND SERIES

نمبروں کا ایک مجموعہ جس کا نمبروں میں تعلق ہوتا ہے اسے تسلسل کہا جاتا ہے۔ ایک ترتیب نمبروں کا ایک مجموعہ ہے جس میں عدد کے درمیان ایک عام ریاضیاتی تعلق ہوتا ہے ، اور ایک سلسلہ ایک ترتیب کی شرائط کا مجموعہ ہوتا ہے۔ ریاضی میں ، ہمارے پاس دو وسیع عدد ترتیب اور سیریز ہیں جو کہ ریاضی کی ترقی اور ہندسی ترقی کی شکل میں ہیں۔ ان میں سے کچھ سیریز محدود ہیں اور کچھ سیریز لامحدود ہیں۔ دونوں سیریز کو ریاضی کی ترقی اور ہندسی ترقی بھی کہا جاتا ہے اور اس کی نمائندگی مندرجہ ذیل کی جاسکتی ہے۔

• ریاضی کی ترقی: ایک ریاضی کی ترقی (اے پی) ایک خاص قسم کی ترقی ہے جس میں دو مسلسل اصطلاحات کے درمیان فرق ہمیشہ ایک مستقل ہوتا ہے۔ ریاضی کی ترقی کی سیریز کی شرائط a، a + d، a + 2d، a + 3d، a + 4d، a + 5d، .....

 

EXPONENTS

 ایک ریاضیاتی عمل ہے ، جسے بطور لکھا جاتا ہے۔ یہاں ایک ایکسپریشن میں دو نمبر ، بیس a اور ایکسپوینٹ یا پاور n شامل ہیں۔ الجبراء کے تاثرات کو آسان بنانے کے لیے Exponents استعمال کیے جاتے ہیں۔ اس سیکشن میں ، ہم مربع ، کیوبز ، مربع جڑ ، اور مکعب جڑ سمیت ایکسپونٹس کے بارے میں تفصیل سے جاننے والے ہیں۔ نام ان ظاہری قوتوں پر مبنی ہیں۔ ایکسپوانٹس کی نمائندگی an = a x x x x ... n اوقات کی شکل میں کی جا سکتی ہے۔

لوگرتھمز  LOGARITHEMS

لوگرتھم الجبرا میں ایکسپونٹس کا الٹا فعل ہے۔ لوگرتھم بڑے الجبری اظہارات کو آسان بنانے کا ایک آسان طریقہ ہے۔ axon = x کے بطور ظاہری شکل کو لوگرتھمک شکل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ جان نیپئر نے 1614 میں لوگاردھم کا تصور دریافت کیا۔ لوگرتھم اب جدید ریاضی کا لازمی حصہ بن گئے ہیں۔

 

سیٹ کرتا ہے۔  SET

ایک سیٹ الگ الگ اشیاء کا ایک اچھی طرح سے بیان کردہ مجموعہ ہے اور اسے الجبری متغیرات کی نمائندگی کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ سیٹ استعمال کرنے کا مقصد ایک گروپ میں متعلقہ اشیاء کے مجموعہ کی نمائندگی کرنا ہے۔ مثال: سیٹ A = {2، 4، 6، 8} .......... (یکساں نمبروں کا ایک سیٹ) ، سیٹ B = {a ، e ، i ، o ، u} .... .. (حروف کا ایک مجموعہ)

الجبری فارمولے۔  ALGEBRIC FORMULAS

                                                                                           

الجبری شناخت ایک مساوات ہے جو متغیرات کو تفویض کردہ اقدار سے قطع نظر ہمیشہ درست رہتی ہے۔ شناخت کا مطلب یہ ہے کہ متغیرات کی تمام اقدار کے لیے مساوات کا بائیں ہاتھ دائیں ہاتھ کی طرح ہے۔ ان فارمولوں میں الجبری اظہارات کے مربع اور کیوب شامل ہوتے ہیں اور چند فوری مراحل میں الجبری اظہارات کو حل کرنے میں مدد کرتے ہیں۔ اکثر استعمال شدہ الجبری فارمولے ذیل میں درج ہیں۔

• (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2۔

• (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2۔

• (a + b) (a - b) = a2 - b2۔

x (x + a) (x + b) = x + (a + b) x + ab

• (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

• (a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3۔

• (a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

آئیے الجبرا میں ان فارمولوں کے اطلاق کو مندرجہ ذیل مثال کا استعمال کرتے ہوئے دیکھیں ،

مثال: الجبرا میں (a + b) 2 فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے ، (101) 2 کی قدر معلوم کریں۔

حل:

دیا: (101) 2 = (100 + 1) 2۔

الجبرا فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 ، ہمارے پاس ہے ،

(100 + 1) 2 = (100) 2 + 2 (1) (100) + (1) 2۔

(101) 2 = 10201۔

مزید فارمولوں کے لیے الجبری فارمولوں کا صفحہ چیک کریں ، جس میں الجبری اظہارات ، ایکسپوینٹس اور لوگرتھمک فارمولوں کی توسیع کے فارمولے شامل ہیں۔

الجبری آپریشنز.     ALGEBRIC OPERATIONS

الجبرا میں شامل بنیادی کاروائیاں اضافہ ، گھٹاؤ ، ضرب اور تقسیم ہیں۔

• اضافہ: الجبرا میں اضافی آپریشن کے لیے ، دو یا زیادہ اظہارات کو ان کے درمیان جمع (+) نشان سے الگ کیا جاتا ہے۔

 گھٹاؤ: الجبرا میں گھٹاؤ کے عمل کے لیے ، دو یا زیادہ اظہارات کو ان کے درمیان مائنس (-) نشان سے الگ کیا جاتا ہے۔

 ضرب: الجبرا میں ضرب عمل کے لیے ، دو یا زیادہ اظہارات کو ان کے درمیان ضرب (×) نشان سے الگ کیا جاتا ہے۔

• ڈویژن: الجبرا میں ڈویژن آپریشن کے لیے ، دو یا زیادہ اظہارات کو ان کے درمیان "/" نشان سے الگ کیا جاتا ہے۔

الجبرا کے بنیادی اصول اور خواص

متغیرات ، الجبری اظہارات ، یا حقیقی نمبر a ، b اور c کے لیے الجبرا کے بنیادی اصول یا خواص ذیل میں دیے گئے ہیں ،

Addition اضافے کی کموٹیٹو پراپرٹی: a + b = b + a

Mult ضرب کی کموٹیٹو پراپرٹی: a × b = b × a۔

Addition اضافے کی ایسوسی ایٹو پراپرٹی: a + (b + c) = (a + b) + c۔

• ضرب کی ایسوسی ایٹو پراپرٹی: a × (b × c) = (a × b) × c

Property تقسیم کی جائیداد: a × (b + c) = a × b + b × c یا a × (b - c) = a × b - a × c

• باہمی: ایک = 1/a کا باہمی۔

 اضافی شناخت: a + 0 = 0 + a = a

• ضرب شناخت: a × 1 = 1 × a = a۔

 اضافی الٹا: a + (-a) = 0۔